PRACTICUM SECUNDARIA
ÍNDICE
1.Función de proporcionalidad directa
Definición
Representación gráfica
2.Función afín
Definición
Representación gráfica
3.Ecuación de la recta
Forma punto-pendiente
Recta que pasa por dos puntos
Forma general
4.Posición relativa de dos rectas
Análisis en forma explícita
Análisis en forma general
5.Aplicaciones
Problemas simples
Problemas combinados
RESUMEN
ANTES DE COMENZAR
Si una sandía pesa 3kg y otra pesa 6kg nos cobrarán el doble por la segunda. Pero, si la primera tiene un diámetro de 15 cm y la otra lo tiene de 30 cm, el precio de la segunda será el doble que el de la primera?
Intenta encontrar la respuesta y dar una explicación razonada a la misma.
Intenta encontrar la respuesta y dar una explicación razonada a la misma.
1. Función de proporcionalidad directa
Definiciones
Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma
y = mx ó f(x) = mx
El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque, como veremos en la siguiente sección, indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente.
Recuerda: dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente es constante.
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En el siguiente video verás el lazamiento de la Lanzadera
1. Función de proporcionalidad directa
Representación gráfica
Como has visto, las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas. Además, como y=mx, si x=0 entonces y=0; por lo tanto la gráfica de todas las funciones lineales pasa por el punto (0,0).
Para dibujar la gráfica basta con obtener las coordenadas de otro punto, dando un valor arbitrario a la x e unir ese punto con el (0,0).
Si x=1, entonces y=m, por tanto m representa la variación de la y por cada unidad de x, es decir, la inclinación o pendiente de la recta. Si m es positiva, representa la cantidad que sube la y por cada unidad de x y si m es negativa la cantidad que baja.
2. Función afín
Definiciones
Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica alguna condición inicial, la función que las liga ya no es totalmente lineal (las magnitudes ya no son proporcionales). Se dice que es una función afín y su forma es:
y = mx + n ó f(x) = mx + n
La pendiente, m, sigue siendo la constante de proporcionalidad y el término n se denomina ordenada en el origen porque es el valor que toma y (ordenada) cuando x vale 0 (abscisa en el origen).
Recuerda: Ahora el cociente entre f(x) y x no es constante.
2. Función afín
Representación gráfica
Las funciones afines se representan también mediante líneas rectas, pues el término independiente que las diferencia de las funciones de proporcionalidad solo produce una traslación hacia arriba o hacia abajo de la gráfica de éstas.
Para dibujar la gráfica necesitamos obtener dos puntos. Uno nos lo proporciona la propia ecuación, pues, como hemos visto, la ordenada en el origen, n, nos indica que la recta pasa por el punto (0,n). El otro punto se obtiene dando un valor cualquiera a x y obteniendo el correspondiente valor de y. Uniendo los dos puntos tenemos la gráfica de la función.
3. Ecuación de la recta
Forma punto-pendiente
La ecuación y = mx + n que hemos visto se denomina forma explícita de la ecuación de la recta, y nos permite hallar dicha ecuación cuando conocemos la pendiente y la ordenada en el origen.
Cuando sólo conocemos la pendiente, m, y las coordenadas de otro de los puntos de la recta, (xo,yo), su ecuación es
y - yo = m (x - xo)
Esta ecuación recibe el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. En la escena se explica cómo se obtiene.
3. Ecuación de la recta
Recta que pasa por dos puntos
Sean P(xo,yo) y Q(x1,y1) dos puntos del plano. La ecuación de la recta que pasa por estos puntos es
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Esta ecuación recibe el nombre de forma continua de la ecuación de la recta. En la escena se explica cómo se obtiene.
3. Ecuación de la recta
Forma general
La manera más habitual de representar rectas es la forma general o implícita:
Ax + By + C = 0
donde A, B y C son números cualesquiera (al menos A ó B deben ser diferentes de cero). Si B=0 se trata de una recta vertical de ecuación x=-C/A. Si B no es cero la pendiente es -A/B.
En la escena se muestra la representación de una recta en forma general y el paso de otras formas a general.
4. Posición relativa de dos rectas
Análisis en forma explícita
Dadas dos rectas
y = m1x + n1 y = m2x + n2
Si m1 # m2 las rectas se cortan en un punto cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema. Se dice que las rectas son secantes.
Si m1 = m2 las rectas son paralelas.
4. Posición relativa de dos rectas
Análisis en forma general
Dadas dos rectas
A1x + B1y+ C1 = 0
A2x + B2y+ C2 = 0
Si A1B2 # A2B1 son secantes.
Si A1B2 = A2B1 las rectas son paralelas.
Manipula los controles de la escena para aclarar estos conceptos.
5. Aplicaciones
Problemas simples
Las funciones lineales describen fenómenos en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales.
La representación gráfica será una recta cuya pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a la otra y la ordenada en el origen nos informa sobre las condiciones iniciales.
En la escena se muestran algunos ejemplos.
En la descripción de fenómenos reales es frecuente que las magnitudes que se relacionan vengan dadas por números de tamaños muy diferentes, por lo que al representarlas gráficamente habrá que escoger unas escalas adecuadas en los ejes correspondientes.
EJEMPLOS:
1.- Obtener la función a partir de valores de la misma
Con Funciones Lineales
Con funciones afines
2.- Obtener la función a partir de la pendiente y de la ordenada en el origen
Con Funciones Lineales
Con Funciones Afines
5. Aplicaciones
Problemas combinados
Donde realmente resulta interesante la aplicación de funciones lineales es en el estudio de varias funciones de manera simultánea de forma que podamos compararlas con facilidad.
Al igual que antes, en la escena se muestran algunos ejemplos de problemas combinados.
En el cuarto ejemplo debes realizar la actividad que se te propone en el ejemplo 1 (Estudio de desplazamientos) de la página con la que se enlaza.
EJEMPLOS:
1) Comparación de funciones
A) MOVILES
B) Ciclismo
2) INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE SITUACIONES
A) BARCOS
B) Ejercicios de la Página de Descartes
RESUMEN
Funciones lineales
Son las funciones que relacionan magnitudes directamente proporcionales y su ecuación es de la forma
y = mx
Su representación gráfica es siempre una línea recta que pasa por el origen. La pendiente, m, es la constante de proporcionalidad.
Funciones afines
Relacionan magnitudes directamente proporcionales sometidas a alguna condición inicial. Tienen la forma
y = mx+n
Su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el punto (0,n) (n es la ordenada en el origen).
Ecuación de la recta
* Forma explícita: y = mx + n
* Forma punto-pendiente: si se conoce la pendiente, m, y las coordenadas de un punto (xo,yo) la ecuación es:
y - yo = m·(x - xo)
* Recta por dos puntos: si se conocen las coordenadas de dos puntos P(xo,yo), Q(x1,y1) la ecuación es:
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos
* Forma general: Simplificando cualquiera de las ecuaciones anteriores se obtiene:
Ax + By + C = 0
la pendiente es m=-A/B si B#0
Posición relativa
r1: y=m1x+n1; r2: y=m2x+n2
si m1 = m2 son paralelas en caso contrario son secantes.
r1: A1x+B1y+C1=0
r2: A2x+B2y+C2=0
si A1B2 = A2B1 son paralelas en caso contrario son secantes.
Si son secantes las coordenadas del punto de corte se hallan resolviendo el sistema.
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